2026 作业配套 · 原题全文 · 深度精讲 · 变式训练

工程经济学零基础深度教程

不仅给出答案，更解释公式从哪里来、现金流为什么这样列、错误解法错在哪里。20 道原题全文收录，每题均配有知识地图、原理深讲、逐步计算、交叉验证与举一反三。

从数学与基础开始 进入原题精讲
20道原题全文收录
20组错解诊断与变式
6大核心知识模块
3个互动计算器
00
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先学会“钱的语言”

只需掌握三个约定，后面的公式就不再神秘。

01

时间比数字更重要

今天的 100 元和一年后的 100 元不是同一笔“经济价值”。先问现金流发生在第几年末，再进行计算。

02

利润不等于现金流

折旧会让利润减少，却没有当期现金流出；购买设备会付现金，却不会立刻全部计入利润。两者必须分清。

03

统一单位与符号

“元”和“万元”不能混加；现金流出记负号，流入记正号。建议全题先统一成题目答案要求的单位。

NPV
全教程最重要的一句话把项目所有相关现金流按发生时点折现到第 0 年，再带符号相加。NPV > 0，表示在弥补资金要求回报后仍创造价值。

第 0 年、折现率、折现系数分别是什么？

第 0 年末通常就是“现在、项目开始时”，不是再等待一年；第 1 年末是一年后。折现率 r 是资金的要求回报率，也可理解为把钱用于别处时能获得的收益率。折现系数是把未来 1 元换算成现在价值的倍率。

第 t 年折现系数 = 1 / (1 + r)t　　PV = FV × 折现系数
第 0 年末现在通常发生投资
第 1 年末一年后收取第 1 期现金流
第 2 年末两年后再折现两期
符号约定：本教程中，投资、追加营运资本等现金流出写为负数；收入、收回营运资本等现金流入写为正数。计算利息或还款表时，为便于阅读，也可能把“偿付金额”作为正数列示，含义会在表头说明。

这本教程怎样学：每题都走完整六步

不要只看最终答案。先遮住解析独立完成，再按下面的顺序对照。原题全文用于核对条件，知识地图用于拆题，知识深讲解释公式来源，分步计算展示规范书写，错解诊断排查误区，变式练习检验迁移能力。

1读原始题目
2拆已知目标
3理解原理
4逐步计算
5诊断错解
6变式迁移

数学基础急救包：只学本作业会用到的内容

百分数与小数

代入公式时，25%=0.25、8%=0.08，而不是直接写 25 或 8。

100×(1+25%) = 100×1.25 = 125

“提高 2 个百分点”与“提高 2%”不同：从 10% 到 12% 是提高 2 个百分点，相对增幅则是 (12%−10%)/10%=20%。

乘方与负指数

(1+r)2 表示两个 (1+r) 相乘；负指数表示取倒数。

1.252=1.5625；1/1.252=1.25−2=0.64

第 0 年的 (1+r)0=1，所以第 0 年现金流不需要折现。

一元一次方程

临界销量、年金存款等题目通常先列出“左边=右边”，再移项求解。

2.25A=18,000 ⇒ A=18,000/2.25=8,000

移项的本质是在等式两边做同一种运算，保持等式成立。

求和符号与平均数

Σ 表示把多项相加，例如 ΣCFt 就是各年现金流求和。算术平均是总和除以个数。

(2+6+10+14)/4=8

加权平均要乘权重，例如组合贝塔 βp=Σwiβi，权重之和应为 1。

符号与括号

现金流出前写负号，整个项目求和时再保留符号。括号能防止税率或折现只作用到一部分。

−120+100×0.8+100×0.64=24

先乘除、后加减；“−100+50”与“−(100+50)”完全不同。

等比数列：年金公式的来源

令 q=1/(1+r)，普通年金现值就是 Aq+Aq2+…+Aqn，属于等比数列。

S=Aq(1−qn)/(1−q)=A[1−(1+r)−n]/r

因此年金系数不是神秘查表值，而是 n 个折现系数之和。

常用符号词典

符号含义符号含义
r折现率或利率t、n第 t 期、总期数
PV / FV现值 / 终值A每期等额现金流
CFt第 t 期净现金流D折旧；资本结构中也可指债务
T所得税税率EBIT息税前利润
NOPAT税后经营净利润OCF经营现金流
NWC净营运资本Δ本期与上期之差
NPV / IRR净现值 / 内部收益率PI盈利指数
β系统性风险敏感度σ、ρ波动率、相关系数
EPS每股收益P/E市盈率
同一个符号要看上下文：D 在折旧公式中代表折旧，在 D/E 中代表债务价值；A 可以代表年金金额，也可以是项目名称。不要脱离题目机械代入。

项目评价通用工作流：从题目到 NPV 的七步

1确定决策范围独立还是互斥？是否有预算限制？是否拥有未来扩张或放弃的选择权？
2画时间轴标出第 0、1、2…年，所有投资、经营收支和终结现金流各就各位。
3筛选相关现金流纳入新增收支与机会成本，排除沉没成本；只比较“有项目−无项目”的差额。
4处理利润与税折旧 → EBIT → NOPAT → OCF；利息、折旧和处置损益是否抵税按题设。
5补齐投资和终结项设备支出、逐期 −ΔNWC、营运资本收回、税后设备处置现金流。
6统一折现求和统一元或万元，逐期乘折现系数，带正负号相加得到 NPV。
7决策并反向验证检查 NPV 符号、IRR 与折现率关系、临界值方向、现金流余额及单位。
01
Time value of money

货币时间价值

对应第 1—3 题：还款、工资折现与教育储蓄。

复利：利息也会生利息

若年利率为 r，今天的 PV 元经过 n 年会变成 FV 元。每一期都把上一期本息作为新的本金。

FV = PV(1 + r)n

折现：复利的逆运算

已知未来金额 FV，求它今天值多少。除以 (1+r)n，年份越远，同样金额的现值通常越小。

PV = FV / (1 + r)n

普通年金：每期期末等额收付

“每年年末支付相同金额”就是普通年金。年金现值系数记作 (P/A,r,n)，它等于各期折现系数之和。

PV = A × [1 − (1+r)−n] / r

等值：换个时点，总额会变

比较或换算现金流时，必须先选定共同时点。可以选第 0 年，也可以选第 2 年；只要时点一致，答案就一致。

同一时点：资金供给 = 资金需求
01

两种还款方式：等额本息与等额本金

年金贷款余额基础
原始题目 · 第 1 题

1、等额本息还款也是一种常见的年金形式现金流。等额本息还款是指借款人在借款后的一定时间内，定期偿付相同金额，直至还清借款。此外，还有一种名称相近的还款方式——等额本金，指借款人定期偿还等额本金，并支付产生的利息，直至还清借款，二者虽然名称相近，但现金流结构截然不同。假设乙在银行借了21000元，约定2年内每年年末偿还，年利率为10%，若以等额本息方式偿还，请问乙每年应偿付多少钱？等额本金方式呢？

已知条件本金 21,000 元；n=2；r=10%
求解目标两种还款方式的逐年付款
核心抓手贷款余额 × 利率 = 当期利息

知识深讲：为什么“等额本息”也是年金？

年金不是某种特定产品，而是一组等间隔、等金额的现金流。本题每年年末付款一次，且等额本息下两期金额相同，所以可以用年金现值公式。两期年金现值系数并不是凭空查表得到的，而是两笔折现系数之和：

(P/A,10%,2) = 1/1.1 + 1/1.12
= 0.909091 + 0.826446 = 1.735537

等额本金则不是年金，因为总付款每年减少。它固定的只是本金部分；随着剩余本金下降，利息也下降，因此总付款呈递减结构。

错解诊断用 21,000÷2=10,500 元作为等额本息付款，是只还本金、完全漏掉利息；用 21,000×10%=2,100 元作为两年的利息，又忽略了还款后贷款余额会下降。
举一反三：借款改为 10,000 元，其他条件不变

等额本息每年付款为 10,000/1.735537≈5,761.90 元。等额本金每年还本金 5,000 元，第 1 年付款 5,000+1,000=6,000 元，第 2 年付款 5,000+500=5,500 元。

先理解：每期还款 = 当期利息 + 当期偿还本金

利息按期初尚未归还的本金计算，而不是始终按最初的 21,000 元计算。等额本息固定的是“每期总付款”；等额本金固定的是“每期偿还的本金”。

  1. 等额本息：先求每年相同的付款 A第 1、2 年末付款 A 的现值必须等于借款 21,000 元。21,000 = A/1.1 + A/1.12 = A × 1.735537
    A = 21,000 / 1.735537 = 12,100 元
  2. 用摊还表验证等额本息第 1 年利息 = 21,000×10% = 2,100 元，因此偿还本金 = 12,100−2,100 = 10,000 元，剩余本金 11,000 元。第 2 年利息 = 11,000×10% = 1,100 元，偿还本金 = 12,100−1,100 = 11,000 元，恰好还清。
  3. 等额本金：每年先固定还本金 10,500 元每年偿还本金 = 21,000/2 = 10,500 元。第 1 年利息 = 21,000×10% = 2,100 元；第 2 年期初只剩 10,500 元，利息 = 10,500×10% = 1,050 元。
还款方式年份期初本金利息偿还本金当年总付款期末本金
等额本息121,0002,10010,00012,10011,000
211,0001,10011,00012,1000
等额本金121,0002,10010,50012,60010,500
210,5001,05010,50011,5500
等额本息每年偿付 12,100 元；等额本金第 1 年偿付 12,600 元，第 2 年偿付 11,550 元。
不要只比较利息总额：等额本金总利息为 3,150 元，等额本息为 3,200 元，但等额本金前期付款更多。两种方案在 10% 的折现率下都与 21,000 元借款等值，不能仅凭名义总利息判断谁“更划算”。
02

上涨的工资，今天值多少？

现值增长率基础
原始题目 · 第 2 题

2、甲加入某公司工作，第1年年末领取工资11000元，第2年的工资较第1年上涨10%。若折现率为10%，请计算两年工资在入职时的现值。

已知条件第 1 年工资、增长率、折现率
求解目标入职时，即第 0 年的现值
核心抓手先增长，再分别折现

知识深讲：增长率与折现率为什么作用相反？

第 2 年工资先乘以 (1+g)，得到名义金额；随后除以 (1+r)2，扣除两期时间价值。第 2 笔工资的一般表达式是：

PV2 = 11,000(1+g)/(1+r)2

只有当 g=r=10% 时，才有 PV2=11,000/(1+r)=10,000 元。这是本题数字形成的巧合，不能推广为“上涨率总可与折现率抵销”。

终值验证：现值 20,000 元以 10% 增长两年为 24,200 元；实际工资流在第 2 年末的等值为 11,000×1.1+12,100=24,200 元，两者一致。

错解诊断把 11,000 与 12,100 相加得到 23,100 元，再只折现一次，是把两个不同时点的现金流强行合并。正确做法永远是逐笔确定年份、逐笔折现。
举一反三：若工资增长率改为 5%，折现率仍为 10%

第 2 年工资为 11,000×1.05=11,550 元；现值为 11,000/1.1+11,550/1.12=10,000+9,545.45≈19,545.45 元。此时增长率低于折现率，第二笔现值小于第一笔现值。

先理解：工资上涨率和折现率扮演着不同角色

上涨率用来计算未来实际领到多少钱；折现率用来把未来金额换算成今天的价值。不能看到两个 10% 就直接约掉，必须先写清现金流。

  1. 列出两个时点的工资金额第 1 年末为 11,000 元；第 2 年末为 11,000×(1+10%) = 12,100 元。
  2. 分别折现，再相加第 1 笔等 1 年，所以除以 1.1；第 2 笔等 2 年，所以除以 1.12。PV = 11,000/1.1 + 12,100/1.12
    = 10,000 + 10,000 = 20,000 元
两年工资在入职时的现值为 20,000 元。本题中工资增长率与折现率恰好相等，所以两笔工资折算到第 0 年后的金额恰好相同。
量纲自检：第 2 年的 12,100 元不能直接除以 1.1，因为它距离现在有两期；少除一次会把时间价值算错。
03

教育储蓄：先存钱，后付学费

年金终值资金等值进阶
原始题目 · 第 3 题

3、某家庭计划在第3、4年年末各支付教育费用12500元。若年利率为25%，从第1年年末到第2年年末，每年年末存入相同金额A，且第2年末存款余额用于支付未来学费。不计其他费用，请计算每年应存入多少元。

资金供给第 1、2 年末各存入 A
资金需求第 3、4 年末各付 12,500 元
核心抓手在同一个时点令供给=需求

知识深讲：为什么“会师时点”可以任意选择？

资金等值变换具有保持性：两组现金流若在某一时刻相等，按同一利率换算到其他任意时点也相等。本题除了第 2 年末，还可以直接选第 0 年：

A/1.25 + A/1.252 = 12,500/1.253 + 12,500/1.254
0.80A + 0.64A = 6,400 + 5,120
1.44A = 11,520　⇒　A = 8,000 元

这与第 2 年末方法完全一致。第 1 笔存款在第 2 年末只经过一年，第 2 笔存款在比较时点刚刚存入，所以只有前者乘 1.25。

错解诊断令 2A=18,000 元会漏掉第 1 笔存款的一年利息；令 2A=25,000 元则把第 3、4 年的名义学费直接相加，忽略了第 2 年末以后仍有时间价值。
举一反三：若两笔学费都改为 10,000 元

第 2 年末学费需求为 10,000/1.25+10,000/1.252=8,000+6,400=14,400 元，因此 A=14,400/2.25=6,400 元。也可以利用线性关系：8,000×(10,000/12,500)=6,400 元。

先选一个“会师时点”：第 2 年末

题目特意告诉我们第 2 年末的存款余额用于未来学费，因此把“存款能积累多少”和“学费在第 2 年末值多少”都放在第 2 年末比较，最不容易乱。

第 1 年末存入 A到第 2 年末生长 1 期
第 2 年末再存入 A比较时点
第 3 年末支付 12,500折现 1 期
第 4 年末支付 12,500折现 2 期
  1. 计算第 2 年末的存款余额第 1 年末的 A 到第 2 年末经过一年，变成 1.25A；第 2 年末刚存入的 A 尚未产生利息。因此余额为 2.25A。
  2. 计算未来学费在第 2 年末的价值学费需求 = 12,500/1.25 + 12,500/1.252
    = 10,000 + 8,000 = 18,000 元
  3. 令资金供给等于资金需求2.25A = 18,000　⇒　A = 8,000 元
第 1、2 年年末应分别存入 8,000 元。验证：第 2 年末余额 = 8,000×1.25+8,000 = 18,000 元，恰好覆盖学费在该时点的价值。
另一种验证：全部换算到第 4 年末

两笔存款在第 4 年末的终值为 8,000×1.253 + 8,000×1.252 = 28,125 元；两笔学费在第 4 年末的等值为 12,500×1.25+12,500 = 28,125 元。两种时点得到相同结论。

现值计算器：亲手改变时间和利率

互动工具 01
默认示例：现值 10,000.00 元
02
Capital budgeting

项目投资评价

对应第 4—6 题：NPV、PI、回收期与 IRR，以及指标冲突。

NPV：项目创造的新增价值

把所有净现金流折现到第 0 年并带符号求和。独立项目 NPV>0 可接受；互斥项目通常选 NPV 较大者。

NPV = Σ CFt/(1+r)t

PI：每 1 元初始投资换来多少现值

盈利指数是未来现金流入现值与初始投资之比。本题口径下，PI>1 与 NPV>0 等价。

PI = 未来现金流入现值 / 初始投资

PP 与 DPP：多久收回本金

静态回收期 PP 用未折现现金流；折现回收期 DPP 用折现后的现金流。DPP 考虑了资金时间价值。

回收期 = 累计现金流转正所需时间

IRR：让 NPV 恰好等于 0 的折现率

常规项目要求 IRR 高于基准折现率。它是项目现金流的内生回报率，不是会计利润率。

0 = Σ CFt/(1+IRR)t
04

一题算遍五大投资指标

NPV / PIPP / DPPIRR
原始题目 · 第 4 题

4、某项目第0年末投入400万元，第1年、第2年年末分别获得400万元和125万元。基准折现率为25%，第1、2年的折现系数分别为0.80、0.64。请计算：（1）净现值NPV和盈利指数PI；（2）静态回收期PP和折现回收期DPP；（3）内部收益率IRR。

现金流−400、+400、+125 万元
五个指标价值、效率、两种回收期、内生回报
核心抓手是否折现、是否考虑全部现金流

知识深讲：五个指标其实在回答三类问题

NPV 与 PI都使用完整折现现金流。只有第 0 年一笔初始投资 I 时，PI=(I+NPV)/I=1+NPV/I，因此 NPV=0 必然对应 PI=1。PP 与 DPP只看何时回本，不评价回本后的收益。IRR则寻找 NPV 曲线的零点。

若回收发生在两年之间，常用插值公式为“完整年份 + 上年末尚未收回金额 ÷ 下一年现金流”。计算 DPP 时，分子、分母都必须使用折现后金额。本题两期期末恰好回本，不需要插值。

折现率NPV（万元，约）判断
20%+20.14低于 IRR，NPV 为正
25%0等于 IRR
30%−18.34高于 IRR，NPV 为负
错解诊断NPV=0 不表示“项目没有收益”或“没有拿回本金”，而表示项目恰好赚得基准折现率 25%，超出要求回报的额外价值为零。PP=1 年也不代表 IRR=100%，因为第 2 年仍有现金流。
举一反三：若第 2 年的 125 万元不再存在

NPV=−400+400×0.80=−80 万元，PI=320/400=0.8；静态 PP 仍为 1 年，但两年内折现现金流无法收回 400 万元，所以 DPP 在项目期内不存在。由 −400+400/(1+IRR)=0 得 IRR=0%。这说明只看 PP 会严重高估项目。

先把现金流写成一条“带符号的数列”

CF0=−400，CF1=+400，CF2=+125，单位均为万元。后续所有指标都从这条数列出发。

  1. 净现值 NPV第 1 年 400 万元折现后为 400×0.80=320 万元；第 2 年 125 万元折现后为 125×0.64=80 万元。NPV = −400 + 400×0.80 + 125×0.64
    = −400 + 320 + 80 = 0 万元
  2. 盈利指数 PI未来两期现金流入的现值合计为 320+80=400 万元，初始投资为 400 万元。PI = (320 + 80) / 400 = 1.00PI=1 表示流入现值恰好等于投资，和 NPV=0 的判断完全一致。
  3. 静态回收期 PP不折现时，第 1 年末累计现金流为 −400+400=0，所以恰好在第 1 年末收回投资，PP=1 年。
  4. 折现回收期 DPP折现后，第 1 年末累计为 −400+320=−80 万元；第 2 年末再加上 80 万元，累计恰好为 0，所以 DPP=2 年。
  5. 内部收益率 IRR令 x=1/(1+IRR)，用 IRR 方程求解：−400 + 400x + 125x2 = 0
    ⇒ 5x2 + 16x − 16 = 0
    ⇒ x = 0.80 或 x = −4（无经济意义，舍去）
    1/(1+IRR) = 0.80　⇒　IRR = 25%    也可以直接观察：题目给的 25% 折现率已经让 NPV=0，所以 IRR 就是 25%。
年份净现金流累计未折现现金流折现现金流累计折现现金流
0−400−400−400−400
14000320−80
2125125800
NPV=0 万元，PI=1.00，PP=1 年，DPP=2 年，IRR=25%。项目刚好达到 25% 的要求回报率，处于“可接受的临界点”，没有额外正净现值。
回收期不是盈利指标：PP 和 DPP 只回答“多久回本”，不衡量回本之后赚多少，也不能替代 NPV。
05

从利润到项目现金流：折旧税盾与营运资本

EBIT / NOPATOCF营运资本
原始题目 · 第 5 题

5、某研发项目的设备在第0年购置，费用200万元，使用2年，按直线法折旧且无残值；另在第0年投入净营运资本20万元，第2年末全部收回。第1、2年每年销售收入均为350万元、变动成本100万元、固定现金成本50万元。企业所得税税率20%，折现率25%，第1、2年的折现系数分别为0.80、0.64。请计算：（1）每年折旧、息税前利润EBIT和税后经营净利润NOPAT；（2）项目NPV。

长期资产设备 200 万元，分 2 年折旧
短期占用营运资本 20 万元，期末收回
核心抓手先算利润与税，再调整回现金流

知识深讲：三种 OCF 算法为什么殊途同归？

本题现金收入减现金成本为 200 万元，EBIT 为 100 万元，所得税为 100×20%=20 万元。以下三种写法都表示同一个 OCF：

方法计算结果
自下而上法NOPAT+D=80+100180 万元
自上而下法收入−现金成本−所得税=350−100−50−20180 万元
税盾法(收入−现金成本)(1−T)+DT=200×0.8+100×0.2180 万元

设备 200 万元在第 0 年已经作为资本支出现金流出，折旧只是把这笔历史成本分配到利润表。若再把每年折旧 100 万元当作现金支出扣除，就会重复计算。

NPV 分解验证：设备与经营部分贡献 −200+180×1.44=59.2 万元；营运资本占用贡献 −20+20×0.64=−7.2 万元；合计正好 52 万元。

错解诊断把 NOPAT=80 万元直接当作 OCF，会漏加非现金折旧；把折旧 100 万元全额当作“抵税收益”，又会夸大税盾。真正少缴的税只是 D×T=20 万元，其余 80 万元加回是在纠正会计利润中的非现金扣减。
举一反三：若第 2 年末营运资本无法收回

第 2 年现金流由 200 万元降为 180 万元，NPV 减少 20×0.64=12.8 万元，因此新 NPV=52−12.8=39.2 万元。收回营运资本不是“额外利润”，但能否收回会影响项目价值。

搭一座桥：会计利润与经营现金流并不相同

直线法折旧是把设备成本均匀分摊到使用年限：D=(原值−残值)/年限。EBIT 是息税前利润，即未扣利息和所得税的经营利润。NOPAT 是税后经营净利润，题中无利息时等于 EBIT×(1−T)。

折旧减少了账面利润，却没有当年的现金流出，所以从 NOPAT 算经营现金流时要把折旧加回来：OCF=NOPAT+D。

  1. 每年折旧D = (200 − 0) / 2 = 100 万元
  2. 每年 EBIT 与 NOPATEBIT = 销售收入 − 变动成本 − 固定现金成本 − 折旧
    = 350 − 100 − 50 − 100 = 100 万元
    NOPAT = EBIT × (1 − 20%) = 100×0.8 = 80 万元
  3. 每年经营现金流 OCFOCF = NOPAT + 折旧 = 80 + 100 = 180 万元换一种算法：现金收入减现金成本后为 200 万元，税后剩 160 万元；折旧又少缴税 100×20%=20 万元，所以 OCF=160+20=180 万元。这 20 万元就是折旧税盾。
  4. 识别第 0、1、2 年的项目净现金流第 0 年既要买设备又要投入营运资本，所以 CF0=−200−20=−220 万元；第 1 年只有 OCF，CF1=180；第 2 年除 OCF 外还收回营运资本 20，CF2=180+20=200。
  5. 计算 NPVNPV = −220 + 180×0.80 + 200×0.64
    = −220 + 144 + 128 = 52 万元
每年折旧 100 万元、EBIT 100 万元、NOPAT 80 万元；项目 NPV=52 万元。NPV>0，按本题假设项目可接受。
营运资本不是费用：第 0 年投入时是真实现金流出，第 2 年收回是真实现金流入，但它不像成本那样进入 EBIT，也不乘所得税率。
06

NPV 与 IRR 打架时，听谁的？

互斥项目规模差异增量分析
原始题目 · 第 6 题

6、现有两个互斥的一年期项目，只能选择其中之一。项目A在第0年投入100万元，第1年末收回150万元；项目B在第0年投入200万元，第1年末收回290万元。两项目折现率均为25%，请计算两项目各自的NPV和IRR，并分别指出NPV较大与IRR较大的项目。

项目 A投入 100，收回 150 万元
项目 B投入 200，收回 290 万元
核心抓手互斥项目比较新增价值，而非只比回报率

知识深讲：增量分析不是在制造第三个项目

B−A 的现金流 −100、+140 万元，是为了回答“在已经考虑 A 的基础上，改选 B 需要多付出什么、又能多得到什么”。它不必对应现实中可单独实施的项目。

NPVB−NPVA = 32−20 = 12 万元 = NPVB−A

增量 IRR=40% 高于折现率 25%，说明追加投资的回报达标。它与 NPV 法则在本题得出相同结论。注意，增量 IRR 不是 45%−50%=−5%，不同项目的百分比不能直接相减。

NPV 法则的目标是增加企业总价值；IRR 是每一元投资的收益效率。互斥且规模不同、现金流时点不同或非常规现金流下，IRR 可能误导或出现多个根，因此 NPV 通常更可靠。

错解诊断直接因为 A 的 IRR=50% 高于 B 的 45% 就选 A，忽略了 B 虽然效率略低，却在相同折现率下多创造 12 万元价值。比率大不等于绝对价值大。
举一反三：若 B 第 1 年末只收回 275 万元

NPVB=−200+275×0.80=20 万元，与 A 相同；IRRB=275/200−1=37.5%，仍低于 A 的 50%。此时单看 NPV，两项目无差异，选择可再考虑风险、战略等其他条件。

IRR 看“效率”，NPV 看“创造了多少总价值”

小项目可能有很高的回报率，却只赚较小的绝对金额；大项目回报率稍低，却可能创造更多价值。互斥项目比较的是“哪一个更增加企业价值”，所以通常以 NPV 为准。

  1. 计算两个项目的 NPVNPVA = −100 + 150×0.80 = 20 万元
    NPVB = −200 + 290×0.80 = 32 万元
  2. 一年期项目的 IRR 可直接求因为第 0 年投入 I，第 1 年收回 F，所以 −I+F/(1+IRR)=0，即 IRR=F/I−1。IRRA = 150/100 − 1 = 50%
    IRRB = 290/200 − 1 = 45%
  3. 用增量项目 B−A 检查选择选 B 而不是 A，需要多投 100 万元，并在第 1 年多收 140 万元。ΔNPV = −100 + 140×0.80 = 12 万元 > 0
    ΔIRR = 140/100 − 1 = 40% > 25%    追加这笔投资是值得的，因此选 B。
A：NPV=20 万元，IRR=50%；B：NPV=32 万元，IRR=45%。NPV 较大的是 B，IRR 较大的是 A；互斥选择应选 NPV 更大的 B。
记忆方法：“50% 回报”不等于“赚 50 元”；比例和金额回答的是不同问题。资金约束下的组合选择会在第 19 题进一步讨论。
03
Tax shield & break-even

税盾与盈亏平衡

对应第 7—10 题：债务税盾、会计保本量与 NPV 保本量。

税盾：可扣除费用带来的少缴税

利息、折旧等按题设可税前扣除时，会减少应纳税所得额。节约的税等于扣除额乘所得税率。

税盾 = 可扣除金额 × T

单位边际贡献：每多卖 1 件贡献多少

售价先弥补单位变动成本，剩余部分用于覆盖固定成本。销量超过保本点后，才形成利润。

单位边际贡献 = P − V

会计盈亏平衡：净利润 = 0

固定成本要包含固定现金成本和折旧。折旧虽不付现金，却会影响会计利润。

Q = 固定成本总额 / (P − V)

NPV 盈亏平衡：NPV = 0

不只要求账面不亏，还要求整个投资达到折现率所代表的要求回报。通常比会计保本更严格。

−初始投资 + 年现金流×年金系数 = 0
07

借钱为什么可能有“税盾”？

利息税盾税后债务成本基础
原始题目 · 第 7 题

7、某公司向银行借款10万元，年利率为8%，每年年末付息，企业所得税税率为25%，不考虑借款费用。请计算：（1）每年支付的利息；（2）每年由利息扣除形成的所得税节约额；（3）税后债务资本成本率。

债务条款本金 10 万元；利率 8%
税务条件所得税率 25%；利息可扣除
核心抓手债权人回报与企业税后成本分开

知识深讲：税盾是“少缴税”，不是政府补贴利息

假设公司计息前已有应纳税所得额 20,000 元。比较有无这笔利息扣除，可以直观看到税盾来源：

情形应纳税所得额所得税（25%）
没有利息扣除20,000 元5,000 元
扣除 8,000 元利息12,000 元3,000 元
差额−8,000 元少缴 2,000 元

银行实际仍收到 8,000 元利息，债权人的回报率仍是 8%；6% 是从公司税后现金负担角度看到的成本。两个数字都正确，只是观察角度不同。

错解诊断把税后利息 6,000 元说成“银行实际收款”是错误的；把 10 万元本金乘 25% 当作税盾也错误，因为本金偿还通常不构成可税前扣除的费用。
举一反三：若所得税率改为 30%

年利息仍为 8,000 元，利息税盾变为 8,000×30%=2,400 元，税后债务资本成本率为 8%×(1−30%)=5.6%。在模型假设不变时，税率越高，利息税盾越大。

资本成本是资金提供者要求的回报

债务利率是债权人要求的回报率。若利息可以税前扣除，公司会因少缴税而降低实际承担的利息成本，所以要从企业视角计算税后债务资本成本。

  1. 每年支付的利息利息 = 本金 × 年利率 = 100,000×8% = 8,000 元
  2. 利息扣除带来的所得税节约假设企业有足够的应纳税所得额，8,000 元利息可扣除，因此少缴所得税：利息税盾 = 8,000×25% = 2,000 元
  3. 税后债务资本成本率税后实际利息负担 = 8,000−2,000=6,000 元，再除以借款本金 100,000 元。税后 Kd = 6,000/100,000 = 8%×(1−25%) = 6%
每年利息 8,000 元；每年所得税节约额 2,000 元；税后债务资本成本率 6%。
本金偿还不是可扣除费用：本题税盾只来自利息。若企业没有足够应纳税所得额抵扣，实际税盾实现时点可能不同；本题按通常简化假设处理。
08

卖多少只口罩才能不亏？

直线折旧单位边际贡献会计保本
原始题目 · 第 8 题

8、丙公司花100000元购置了一批预期使用寿命为4年的口罩机，设备按直线法折旧，期末无残值同时租用了一间无尘厂房用于生产，每年租金为20000元。丙公司准备搭建口罩生产线生产一次性医用口罩，每个口罩售价3元，材料费、人工费等平均可变成本1.5元，请问净利润下的销量盈亏平衡点是多少？

固定成本年折旧 + 年租金
单位经济性售价 3 元；变动成本 1.5 元
核心抓手边际贡献先覆盖固定成本

知识深讲：保本点是一条“利润=0”的直线交点

利润函数为 π(Q)=1.5Q−45,000。销量每增加 1 只，利润增加 1.5 元；销量为 0 时，利润为 −45,000 元。用几个销量观察：

年销量 Q边际贡献 1.5Q固定成本净利润
0 只045,000−45,000 元
10,000 只15,00045,000−30,000 元
30,000 只45,00045,0000 元
40,000 只60,00045,000+15,000 元

保本销售额 = 30,000×3=90,000 元；边际贡献率 = 1.5/3=50%，也可用 45,000/50%=90,000 元验证。

若只看经营现金收支，年固定现金支出只有租金 20,000 元，现金保本量为 20,000/1.5≈13,333.33 只。但这仍不是 NPV 保本点，因为它没有要求收回设备初始投资并取得资本回报。

错解诊断只用 20,000 元租金除以 1.5 元，得到的是简化现金保本量，不是题目要求的净利润保本量；把设备 100,000 元全部算作每一年的固定成本，则忽略了四年折旧分摊。
举一反三：若售价降为 2.5 元，其他条件不变

单位边际贡献变为 2.5−1.5=1 元，净利润保本量变为 45,000/1=45,000 只/年。售价只下降 0.5 元，但保本量增加了 50%，因为单位边际贡献由 1.5 元缩至 1 元。

把成本分成“随销量变”和“不随销量变”

材料、人工等变动成本随销量增加；本题设备折旧和厂房租金在相关范围内属于固定成本。净利润 = 销量×(售价−单位变动成本)−固定成本。

  1. 计算每年折旧D = 100,000/4 = 25,000 元/年
  2. 汇总每年固定成本净利润口径下，折旧和租金都要扣除：固定成本 = 25,000 + 20,000 = 45,000 元/年
  3. 计算单位边际贡献并求保本量每卖一只，售价 3 元扣除变动成本 1.5 元，能贡献 1.5 元。QBE = 45,000/(3−1.5) = 30,000 只/年
净利润恰好为零时的年销量为 30,000 只口罩。验证：30,000×1.5−45,000=0 元。
为什么这里有折旧？题目明确问“净利润下”的盈亏平衡点。若问现金保本点，才不把非现金折旧放进固定现金支出；两种口径不要混淆。
09

加盟项目：让 NPV 恰好为零的销量

税后现金流年金现值临界销量
原始题目 · 第 9 题

9、丙公司计划加盟某品牌，需在第0年支付一次性加盟费144万元。加盟经营为期2年，每年年末取得经营现金流；每年固定现金成本25万元，产品售价12元/件，单位变动成本7元/件，企业所得税税率20%。为简化计算，加盟费不摊销、不作税前扣除，经营中无折旧和营运资本变化。折现率25%，两年等额现金流年金现值系数为1.44。假设每年销量相同，请计算使NPV恰好等于零的年销量。

初始现金流第 0 年 −144 万元，不抵税
经营现金流每年 (5Q−25)×80%
核心抓手先求 NPV=0 所需的年 OCF

知识深讲：把临界销量问题变成一元一次方程

初始投资 144 万元、两年年金现值系数 1.44，意味着每年必须提供 144/1.44=100 万元 OCF，项目才刚好达到 25% 的要求回报。然后倒推需要多少销量来产生这 100 万元。

把 NPV 直接写成销量 Q 的函数，可以更清楚地看到敏感性：

NPV(Q) = −144 + (4Q−20)×1.44 = 5.76Q − 172.8（万元）
Q（万件/年）每年 OCF（万元）NPV（万元）
2060−57.6
301000
40140+57.6

每年多销售 1 万件，税后 OCF 增加 4 万元，NPV 增加 4×1.44=5.76 万元。会计利润为零的销量只有 25/5=5 万件，但它远远不足以覆盖 144 万元初始投资及资本回报。

错解诊断直接用会计保本公式 Q=固定现金成本/(售价−变动成本)，会漏掉初始加盟费；给加盟费增加 144×20% 的税盾，又违反了题目“不作税前扣除”的明确假设。
举一反三：若其他条件不变，但所得税率为 0

每年 OCF=5Q−25。令 −144+(5Q−25)×1.44=0，得 5Q−25=100，因此 Q=25 万件/年。税率降为 0 后，达到同一 OCF 目标所需销量下降。

先统一单位：令 Q 表示“万件/年”

因为 1 万件 × 1 元/件 = 1 万元，所以用 Q（万件）表示销量时，5Q 的单位自然就是万元。本题没有折旧，经营现金流就是税后经营利润；加盟费虽在第 0 年付现，但按题设不能抵税。

  1. 写出每年税前经营利润单位边际贡献 = 12−7=5 元/件，年边际贡献为 5Q 万元。税前经营利润 = 5Q − 25（万元）
  2. 写出每年经营现金流无折旧、无营运资本变化，因此：OCF = (5Q − 25)×(1−20%) = 4Q − 20（万元）
  3. 令项目 NPV 等于 0两年 OCF 相同，直接用年金现值系数 1.44：NPV = −144 + (4Q−20)×1.44 = 0
  4. 解销量4Q − 20 = 144/1.44 = 100
    4Q = 120　⇒　Q = 30 万件/年
使 NPV 恰好为零的年销量为 30 万件，即每年 300,000 件。此时每年 OCF=100 万元，两年流入现值=100×1.44=144 万元，恰好收回初始加盟费。
不要给加盟费凭空加折旧：题目已明确“加盟费不摊销、不作税前扣除，无折旧”。遵循简化假设比套用现实中的复杂会计处理更重要。
10

销量、成本、售价：三种 NPV 临界值

利润保本NPV 保本敏感性分析
原始题目 · 第 10 题

10、某公司购置设备72万元，使用2年，期末无残值，按直线法折旧；每年固定现金成本18万元，产品售价10元/件，单位变动成本6元/件，预计每年销量20万件。为简化计算，不考虑所得税及营运资本。折现率25%，两年年金现值系数为1.44。请计算：（1）净利润恰好为零时的年销量；（2）NPV恰好为零时的年销量；（3）销量为20万件时，NPV恰好为零的最高单位变动成本与最低销售单价。

每年固定项目现金成本 18；折旧 36 万元
NPV 目标每年 OCF 必须达到 50 万元
核心抓手分清利润口径与现金流口径

知识深讲：为什么 NPV 保本量比会计保本量高？

把两个临界销量放在同一张表里，可以看到“净利润为 0”仍可能对应“NPV 为负”：

年销量边际贡献净利润OCFNPV
13.5 万件54 万元036 万元−20.16 万元
17 万件68 万元14 万元50 万元0
20 万件80 万元26 万元62 万元+17.28 万元

会计保本时，每年 36 万元 OCF 的现值只有 36×1.44=51.84 万元，不足以收回 72 万元设备投资，因此 NPV=−20.16 万元。NPV 保本时每年有 14 万元正利润，说明“NPV=0”不等于“会计利润=0”。

敏感性：在年销量 20 万件下，单位变动成本每上升 0.1 元，年现金流减少 0.1×20=2 万元，NPV 减少 2×1.44=2.88 万元；售价变化的影响方向相反。

错解诊断计算 NPV 时既在第 0 年扣设备 72 万元，又把每年折旧 36 万元作为经营现金支出扣除，会重复计算设备成本。折旧只用于第（1）问净利润；无税时求 OCF 应把它加回。
举一反三：直接评价预计销量 20 万件的方案

原售价 10 元、单位变动成本 6 元时，年 OCF=(10−6)×20−18=62 万元，NPV=−72+62×1.44=17.28 万元。因为 20 万件高于 NPV 保本量 17 万件，所以 NPV 为正，和临界销量判断一致。

同一个项目，不同“保本”问题对应不同固定负担

每年折旧 = 72/2=36 万元。无所得税时，净利润 = 年边际贡献−固定现金成本−折旧；而年经营现金流 = 净利润+折旧 = 年边际贡献−固定现金成本。令 Q 表示万件/年，售价与单位变动成本以元/件计时，边际贡献 4Q 的单位是万元。

  1. (1) 净利润恰好为零的年销量会计利润需要覆盖固定现金成本 18 万元与折旧 36 万元：净利润 = (10−6)Q − 18 − 36 = 0
    4Q = 54　⇒　Q = 13.5 万件/年
  2. (2) NPV 恰好为零的年销量每年 OCF=4Q−18，第 0 年设备投资为 72 万元：NPV = −72 + (4Q−18)×1.44 = 0
    4Q−18 = 72/1.44 = 50
    4Q = 68　⇒　Q = 17 万件/年    NPV 保本量高于净利润保本量，因为 NPV 不仅看账面利润，还要求收回全部投资并达到 25% 的要求回报。
  3. (3a) 固定销量和售价，求最高单位变动成本 vNPV=0 时，每年所需 OCF 仍是 50 万元。销量 20 万件：(10−v)×20 − 18 = 50
    (10−v)×20 = 68　⇒　10−v = 3.4
    v = 6.6 元/件    单位变动成本越高，现金流越低，所以要使 NPV≥0，应有 v≤6.6 元/件。
  4. (3b) 固定销量和单位变动成本，求最低售价 p(p−6)×20 − 18 = 50
    p−6 = 3.4　⇒　p = 9.4 元/件    售价越高，现金流越高，所以要使 NPV≥0，应有 p≥9.4 元/件。
(1) 13.5 万件/年；(2) 17 万件/年；(3) 最高单位变动成本 6.6 元/件，最低销售单价 9.4 元/件。
临界值方向要写出来：“最高成本”和“最低售价”不是措辞装饰，而是说明可行区域。成本超过 6.6 元或售价低于 9.4 元时，在其余条件不变的情况下 NPV 会转为负数。

盈亏平衡计算器：看看固定成本如何改变保本量

互动工具 02
默认示例：保本量 30,000 件/年
04
Incremental cash flows

增量现金流与灵活决策

对应第 11—14 题：实物期权、沉没成本、机会成本、资产处置与营运资本。

相关现金流：因项目而发生改变

判断标准不是“有没有提到这笔钱”，而是“接受项目与拒绝项目相比，现金流是否不同”。

项目现金流 = 有项目 − 无项目

沉没成本：已经发生，不再改变

过去已支付的调研费，无论今天是否投资都无法收回，因此不计入当前项目的增量现金流。

历史支出 ≠ 当前决策现金流

机会成本：放弃的最佳替代收益

自有资源不等于免费资源。厂房用于项目就不能出租，放弃的租金是项目经济成本。

使用自有厂房 → 损失租金

实物期权：未来有权调整，而非必须

扩张权像一种选择权：行情好就行权，行情差就放弃。计算时应分情形，再按概率求期望。

期权价值 = 灵活方案 NPV − 被动方案 NPV
11

高收益时才扩张：选择权如何创造价值？

期望 NPV决策树扩张期权
原始题目 · 第 11 题

11、某公司考虑新建门店，第0年投资100万元。第1年末经营现金流可能为50万元或150万元，两种情形概率均为50%，原门店此后不再产生现金流。若第1年末出现150万元的高收益，公司可选择当时再投资40万元扩张，并于第2年末额外获得150万元现金流；若出现低收益则不扩张。所有现金流折现率为25%，每年的折现系数为0.80。请计算：（1）不考虑扩张时的期望NPV；（2）允许高收益情形下扩张时的期望NPV，并比较两者。

不确定信息第 1 年才知道经营结果高低
灵活权利仅高收益时可再投资扩张
核心抓手分情形决策，再按概率折现

知识深讲：用决策树看清每一种情形

先分别求每种完整路径在第 0 年的 NPV，再按概率加权，可以避免漏掉扩张投资或额外现金流：

情形概率第 1 年现金流第 2 年现金流该路径 NPV
低收益，不扩张50%+500−100+50×0.8=−60
高收益，被动不扩张50%+1500−100+150×0.8=20
高收益，主动扩张50%150−40=110+150−100+110×0.8+150×0.64=84

被动方案期望 NPV=50%×(−60)+50%×20=−20；灵活方案期望 NPV=50%×(−60)+50%×84=12。与正文“先算基础价值、再加期权价值”的方法一致。

选择权的本质是第 1 年可以取 max(0, −40+150/1.25)。若扩张收益不理想，可以放弃，损失不会来自一项被迫实施的负 NPV 扩张。

错解诊断直接对第 2 年的 150 万元乘 50% 并折现，却漏掉第 1 年的 40 万元扩张投资，会把期权价值高估；把 40 万元在第 0 年全额扣除，则忽略了它只在高收益路径、于第 1 年支付。
举一反三：若扩张后的额外现金流只有 100 万元

第 1 年末扩张 NPV=−40+100/1.25=40 万元，第 0 年期权价值=50%×40×0.8=16 万元。灵活方案期望 NPV=−20+16=−4 万元。扩张仍值得，但整个项目仍未达到可接受标准。扩张在第 1 年末恰好保本所需的第 2 年现金流为 40×1.25=50 万元。

先算“没有选择权”，再算“选择权增加的价值”

扩张只在高收益情形发生，所以低收益分支完全不变。不必把两种方案的所有现金流重新混成一团：先求被动方案，再单独计算扩张权带来的增量，会更清楚。

  1. (1) 不考虑扩张时的期望 NPV第 1 年末期望经营现金流 = 50×50%+150×50%=100 万元。E(NPV不扩张) = −100 + (50×50% + 150×50%)×0.80
    = −100 + 100×0.80 = −20 万元
  2. 站在第 1 年末判断扩张是否值得当时再投 40 万元，第 2 年末得到 150 万元。相对第 1 年末，扩张的净现值为：扩张在第 1 年末的 NPV = −40 + 150/1.25 = 80 万元因为 80>0，所以高收益时应该扩张。
  3. 把扩张价值折回第 0 年并乘概率第 1 年末的 80 万元折现一期为 80×0.80=64 万元，但只有 50% 概率发生：扩张期权在第 0 年的价值 = 50%×80×0.80 = 32 万元
  4. (2) 允许扩张时的期望 NPVE(NPV可扩张) = −20 + 32 = 12 万元
用完整现金流再核对一次

低收益分支：第 0 年 −100，第 1 年 +50。高收益且扩张分支：第 0 年 −100，第 1 年原有 150 与扩张投资 −40 同时发生，净额 +110；第 2 年 +150。因此期望 NPV=−100+50%×50×0.80+50%×110×0.80+50%×150×0.64=−100+20+44+48=12 万元。

不扩张时期望 NPV=−20 万元；允许高收益时扩张时期望 NPV=12 万元。扩张权使期望 NPV 增加 32 万元，并使项目由负转正。
不是“今天就必须扩张”：40 万元是在第 1 年末且仅在高收益情形下支付。若在第 0 年无条件扣除全部扩张投资，会忽略概率和时点，造成重复或过早扣款。
12

自有厂房与调研费：哪些该算，哪些不该算？

沉没成本机会成本OCF / NPV
原始题目 · 第 12 题

12、某公司拟利用自有厂房开展一项为期2年的生产项目。第0年需购买设备120万元，采用直线法折旧，2年后无残值。公司在项目可行性研究阶段已支付调研费15万元。若不开展该项目，厂房每年可出租获得20万元租金。项目投产后，第1、2年每年营业收入均为210万元、变动现金成本60万元、其他固定现金成本20万元。所得税税率20%，折现率25%，第1、2年的折现系数分别为0.80、0.64。假设企业有足够应纳税所得额。请计算：（1）每年折旧、EBIT和NOPAT；（2）每年经营现金流OCF；（3）各年项目净现金流及NPV。

排除项目已付调研费 15 万元
纳入项目设备投资、经营收支、放弃租金
核心抓手有项目与无项目的现金流差额

知识深讲：用“有无项目对比法”判断相关性

项目拒绝项目接受项目增量影响是否计入
已付调研费已支出 15仍已支出 150不计，沉没成本
设备购置0第 0 年支出 120−120计入
厂房租金每年 +20放弃出租每年 −20计入，机会成本
经营收支0按题设发生全部差额计入

机会成本 20 万元是税前经济损失。由于它在 EBIT 中扣除，每年对 OCF 的影响为 −20×(1−20%)=−16 万元。若忽略租金，OCF 会由 100 增至 116 万元，NPV 会由 24 增至 47.04 万元，虚增 16×1.44=23.04 万元。

若错误地在第 0 年再扣调研费 15 万元，NPV 会由 24 降为 9 万元。这不是“更保守”，而是把无法改变的过去支出错误地带入当前决策。

错解诊断“没有实际付给房东，所以租金不算成本”忽略了放弃的收益；“调研费与项目有关，所以必须扣除”则混淆了经济相关性与会计归属。判断关键是当前选择能否改变这笔现金流。
举一反三：若放弃的年租金改为 30 万元

每年 OCF 在原答案基础上再减少 (30−20)×(1−20%)=8 万元，变为 92 万元；NPV=−120+92×1.44=12.48 万元。厂房替代用途越好，开展本项目的机会成本越高。

已付调研费排除，放弃租金纳入

15 万元调研费已经支付，接受或拒绝项目都收不回来，是沉没成本，不进现金流。20 万元租金虽没有实际开出发票，却因为做项目而放弃，是机会成本，应从项目收益中扣除。自有不等于无成本。

  1. (1) 每年折旧、EBIT 与 NOPATD = 120/2 = 60 万元
    EBIT = 210 − 60 − 20 − 20(机会成本) − 60(折旧)
    = 50 万元
    NOPAT = 50×(1−20%) = 40 万元
  2. (2) 每年经营现金流 OCFOCF = NOPAT + D = 40 + 60 = 100 万元折旧抵税 60×20%=12 万元，但它本身没有现金支出；因此加回折旧后才是现金流。
  3. (3) 各年项目净现金流第 0 年只有设备投资 −120；调研费不重复计入。第 1、2 年各有 OCF 100，无营运资本和处置收入。CF0 = −120，　CF1 = 100，　CF2 = 100（万元）
  4. 计算 NPVNPV = −120 + 100×0.80 + 100×0.64
    = −120 + 80 + 64 = 24 万元
每年折旧 60 万元、EBIT 50 万元、NOPAT 40 万元、OCF 100 万元；CF0=−120、CF1=100、CF2=100 万元；NPV=24 万元。
快速判别：“已经花了”通常是沉没成本；“因为用了它而失去别的收益”通常是机会成本。前者排除，后者纳入。
13

项目终点：卖设备、缴税与收回营运资本

税后残值终结现金流NPV
原始题目 · 第 13 题

13、某项目第0年购置设备100万元，使用2年，按直线法折旧至账面价值为零；第0年另投入净营运资本20万元，第2年末全部收回。第1、2年每年营业收入均为150万元、现金营业成本50万元。第2年末设备以25万元出售，所得税税率20%。折现率25%，第1、2年折现系数分别为0.80、0.64。假设处置收入超过账面价值的部分按20%纳税，且企业有足够应纳税所得额。请计算：（1）每年折旧、EBIT、NOPAT与OCF；（2）设备处置税后现金流及第2年末现金流；（3）项目NPV。

经营部分每年 OCF=90 万元
终结部分营运资本收回 + 税后设备出售
核心抓手售价与账面价值之差决定处置税

知识深讲：税后残值的通用公式

设设备售价为 S、处置时账面价值为 BV，则在本题税务口径下：

税后处置现金流 = S − (S−BV)×T = S(1−T) + BV×T

本题 BV=0，所以结果为 25×(1−20%)=20 万元。账面价值越高，同样售价下应税处置收益越小。若售价低于账面价值，在允许亏损抵税且有足够应税所得的假设下，还可能形成税收节约，具体应按题目规定处理。

NPV 分解验证：不含设备出售时，NPV=−120+90×0.8+(90+20)×0.64=22.4 万元；税后出售现金流 20 万元贡献现值 20×0.64=12.8 万元；合计 35.2 万元。

错解诊断把第 2 年现金流写成 90+20+25=135 万元，漏掉了 5 万元处置税；或者对经营 OCF、营运资本收回和设备售价统一再乘一次 (1−20%)，又会对非利润项目重复征税。
举一反三：若设备只卖得 20 万元

账面价值仍为 0，处置税为 20×20%=4 万元，税后处置现金流为 16 万元。第 2 年总现金流=90+20+16=126 万元，NPV=−120+90×0.8+126×0.64=32.64 万元。

卖设备收到的钱，不一定全部留在手里

设备处置的应税收益 = 售价−账面价值。账面价值不是市场售价，而是原值扣除累计折旧后的会计余额。税后处置现金流 = 售价−处置相关税款。

  1. (1) 每年折旧、EBIT、NOPAT 与 OCFD = 100/2 = 50 万元
    EBIT = 150 − 50 − 50 = 50 万元
    NOPAT = 50×(1−20%) = 40 万元
    OCF = NOPAT + D = 40 + 50 = 90 万元
  2. (2a) 设备处置税后现金流第 2 年末账面价值为 0，售价 25 万元全部构成题设口径下的应税处置收益。处置税款 = (25−0)×20% = 5 万元
    税后处置现金流 = 25−5 = 20 万元
  3. (2b) 第 2 年末总现金流最后一年同时发生经营现金流 90、营运资本收回 20、税后设备处置 20：CF2 = 90 + 20 + 20 = 130 万元
  4. (3) 项目 NPV第 0 年设备与营运资本合计流出 120 万元，第 1 年现金流为 90 万元。NPV = −120 + 90×0.80 + 130×0.64
    = −120 + 72 + 83.2 = 35.2 万元
每年 D=50、EBIT=50、NOPAT=40、OCF=90 万元；税后处置现金流 20 万元；第 2 年末总现金流 130 万元；NPV=35.2 万元。
不要对营运资本收回征税：它是收回之前占用的资金，不是本题中的利润或设备处置收益。设备处置税与经营所得税也应分开识别，再加到同一时点。
14

营运资本看“余额变化”，不是重复扣余额

ΔNWC增量现金流回收
原始题目 · 第 14 题

14、某项目经营期为2年，第0年购置设备100万元。已知第1、2年年末经营现金流（不含营运资本变化及设备购置）均为100万元。为满足经营需要，第0年末净营运资本余额为30万元，第1年末提高至50万元，第2年末项目结束时全部收回，余额降至0。设备期末无处置收入。折现率25%，第1、2年折现系数分别为0.80、0.64。请计算：（1）第0、1、2年净营运资本增加额ΔNWC；（2）第0、1、2年项目净现金流；（3）NPV。

余额路径0 → 30 → 50 → 0 万元
其他现金流设备 −100；每年 OCF +100
核心抓手每期只扣新增占用，释放时加回

知识深讲：营运资本是一笔“周转中的资金占用”

净营运资本可简单理解为经营中占用的短期资金，例如存货和应收款减去应付款。余额为 50 万元并不意味着每年要花 50 万元，而是截至那个时点累计有 50 万元被占用。因此第 1 年只需追加 50−30=20 万元。

NPV 分解验证：先忽略营运资本，设备与经营部分的 NPV=−100+100×0.8+100×0.64=44 万元；营运资本自身的现值为：

PV(NWC影响) = −30 − 20×0.80 + 50×0.64
= −30 − 16 + 32 = −14 万元

两部分合计 44−14=30 万元。虽然名义上累计投入 50、最终也收回 50，但资金被占用期间存在时间成本，所以营运资本对 NPV 的净影响为负。

错解诊断第 1 年再扣 50 万元是重复扣除已有的 30 万元余额；只在第 0 年扣 30、却在第 2 年收回 50，则漏掉第 1 年追加的 20，相当于凭空创造了 20 万元流入。
举一反三：若营运资本一直保持 30 万元，不在第 1 年增加

现金流变为 CF0=−130、CF1=100、CF2=100+30=130 万元，NPV=−130+100×0.8+130×0.64=33.2 万元。与原题相比，少占用一笔一年期资金，NPV 提高 3.2 万元。

先记两个公式，再画余额阶梯

ΔNWCt = NWCt − NWCt−1
营运资本对现金流的影响 = −ΔNWCt

余额增加，意味着更多资金被占用，是现金流出；余额减少，意味着资金释放，是现金流入。因此 ΔNWC 为正时现金流为负，ΔNWC 为负时现金流为正。

  1. (1) 第 0、1、2 年的 ΔNWC项目前余额为 0：ΔNWC0 = 30−0 = +30 万元
    ΔNWC1 = 50−30 = +20 万元
    ΔNWC2 = 0−50 = −50 万元
  2. (2) 各年项目净现金流第 0 年买设备 100 并投入营运资本 30；第 1 年 OCF 100 中还需追加占用 20；第 2 年 OCF 100 并收回全部 50：CF0 = −100 − 30 = −130 万元
    CF1 = 100 − 20 = 80 万元
    CF2 = 100 + 50 = 150 万元
  3. (3) 计算 NPVNPV = −130 + 80×0.80 + 150×0.64
    = −130 + 64 + 96 = 30 万元
时点NWC 余额ΔNWC设备/OCF营运资本现金影响项目净现金流
030+30−100−30−130
150+20+100−2080
20−50+100+50150
ΔNWC 分别为 +30、+20、−50 万元；项目净现金流分别为 −130、80、150 万元；NPV=30 万元。
总额自检：三期 ΔNWC 相加为 30+20−50=0，说明期初与追加占用最终全部收回。但收付发生在不同年份，所以仍会影响 NPV。
05
Risk & required return

风险与资本成本

对应第 15—17 题：财务杠杆、贝塔、CAPM 与投资组合。

财务杠杆：债务放大股东风险

债权人通常先于股东获得偿付。债务越多，股东承担的剩余收益波动越大，因此股权资本成本会提高。

KE = KU + 杠杆风险补偿

贝塔 β：衡量系统性风险

β=1 表示与市场同步波动的基准水平；β=2 表示对市场变动更敏感；β=0.5 表示敏感度较低。

βi = Cov(Ri,Rm) / Var(Rm)

CAPM：风险决定要求回报

资本资产定价模型把股权要求回报写成无风险利率加系统性风险补偿。

KE = Rf + β×市场风险溢价

组合贝塔：可以按权重平均

各资产贝塔的加权平均就是组合贝塔。与组合波动率不同，不需要再额外计算资产之间的相关项。

βp = Σ wiβi
15

加杠杆后，股东要求的回报如何变化？

MM 第二命题股权资本成本公司税
原始题目 · 第 15 题

15、若某公司在无杠杆时的股权资本成本为7%，现在考虑采用债权与股权之比为1:1的资本结构，债权资本成本为5%，不考虑公司税。那么新资本结构下股权资本成本为多少？若考虑公司税，所得税税率为25%，则股权资本成本为多少？

基础成本KU=7%；KD=5%
资本结构D/E=1，即债务与股权价值相等
核心抓手无税与含税 MM 第二命题

知识深讲：把股权成本拆成“经营风险 + 财务风险”

无杠杆股权成本 7% 补偿企业资产本身的经营风险；引入债务后，股东在企业价值和收益的分配顺序中仍居后，剩余收益波动被放大，因此再加上财务风险补偿。

若企业总资本价值为 100，D/E=1:1 意味着 D=50、E=50，所以 D/E=1，而不是 D/V=1。无税时风险补偿为 1×(7%−5%)=2%；含税模型中风险补偿为 0.75×1×2%=1.5%。

MM 公式有严格假设，例如资本市场较完善、债务风险与税盾处理符合模型等。本教程是在题目指定的标准框架内计算，不应把公式无条件套到所有现实企业。

错解诊断含税公式中的 KD 使用税前债务成本 5%，并已在杠杆项前乘 (1−T)。若先把 KD 换成税后 3.75%，再乘一次 (1−T)，会重复处理税收。也不要把 D/E=1:1 错读成债务占总资本 100%。
举一反三：若 D/E 改为 2:1

无税时 KE=7%+2×(7%−5%)=11%；含 25% 公司税时 KE=7%+0.75×2×2%=10%。杠杆比率提高，股东要求的财务风险补偿也提高。

先认识符号：D/E 是债务与股权的市场价值之比

KU 是无杠杆股权资本成本，KE 是有杠杆股权资本成本，KD 是债务资本成本。债务成本较低，不代表股东可以“免费占便宜”：杠杆增加股东风险，会提高 KE。

  1. 无公司税：使用无税 MM 第二命题KE = KU + (D/E)(KU − KD)
    = 7% + 1×(7%−5%) = 9%    其中 2% 是股东因 1:1 杠杆额外要求的回报。
  2. 有公司税：使用含税 MM 第二命题在题目对应的标准模型下，杠杆风险补偿项乘以 (1−T)：KE = KU + (1−T)(D/E)(KU − KD)
    = 7% + (1−25%)×1×(7%−5%)
    = 7% + 1.5% = 8.5%
不考虑公司税时股权资本成本为 9%；考虑 25% 公司税时为 8.5%。
不要把股权成本直接乘 (1−T)：债务利息税盾用于税后债务成本；本题含税杠杆公式中，(1−T) 乘的是整个“杠杆风险补偿项”，不是无杠杆股权成本 7%。
16

从历史收益率估计贝塔，再用 CAPM

协方差方差CAPM
原始题目 · 第 16 题

16、Y公司股票与市场组合连续4年的收益率如下表（单位：%）。假设无风险利率为2%，市场风险溢价为4%。请按下式计算股票贝塔，并用CAPM计算股权资本成本。

β = Σt=1…4[(Ri,t−R̄i)(Rm,t−R̄m)] ÷ Σt=1…4(Rm,t−R̄m)2

年度Y股票收益率（%）市场收益率（%）
120
262
3104
4146
统计样本股票与市场各 4 年收益率
CAPM 参数Rf=2%；MRP=4%
核心抓手先算离差，再求协方差/方差

知识深讲：贝塔就是回归直线的斜率

把市场收益率放在横轴、股票收益率放在纵轴，贝塔衡量市场变动 1 个单位时，股票收益率平均变动多少单位。它是“协方差÷市场方差”，不是两个平均收益率之比。

若采用样本统计口径，样本协方差为 40/(4−1)=13.333，样本市场方差为 20/(4−1)=6.667，贝塔仍为 13.333/6.667=2。无论共同除以 n 还是 n−1，只要分子分母口径一致，比值就不变。

本组数据还满足股票收益率=2+2×市场收益率，因此市场每提高 1 个百分点，股票收益率提高 2 个百分点，也能直观验证 β=2。

CAPM 中的市场风险溢价题目已经明确给为 4%，不能用历史市场平均值 3% 减无风险利率 2% 后得到的 1% 替代。历史样本统计与 CAPM 参数是两套输入。

错解诊断用 8%÷3%=2.67 作为贝塔，算的是平均收益率之比；用股票自身收益率方差作分母，则变成了另一种统计量。贝塔的分母始终是市场收益率方差。
举一反三：若贝塔估计值改为 1.2

在无风险利率 2%、市场风险溢价 4% 下，CAPM 股权资本成本=2%+1.2×4%=6.8%。CAPM 是线性的：贝塔每增加 0.1，要求回报率增加 0.4 个百分点。

贝塔看“共同变动”，不是看股票自己涨了多少

用历史样本估计时，可以把贝塔写成离差乘积之和与市场离差平方之和的比值。离差就是每年收益率减去该序列的平均收益率。

β = Σ[(RY,t−R̄Y)(Rm,t−R̄m)] / Σ(Rm,t−R̄m)2
  1. 计算两组收益率的平均值R̄Y = (2+6+10+14)/4 = 8%
    R̄m = (0+2+4+6)/4 = 3%
  2. 列离差并计算分子、分母
    年度Y−平均 Y市场−平均市场离差乘积市场离差平方
    1−6−3189
    2−2−121
    32121
    463189
    合计004020
    这里用百分数数字计算即可，因为分子和分母的“百分号平方”会约掉。
  3. 求贝塔βY = 40/20 = 2若用样本协方差除以样本方差，两者都除以 n−1=3，结果仍是 2。
  4. 用 CAPM 计算股权资本成本市场风险溢价 = 市场预期收益率−无风险利率，题目已直接给为 4%：KE = Rf + β×(Rm−Rf)
    = 2% + 2×4% = 10%
Y 股票贝塔为 2，按 CAPM 估计的股权资本成本为 10%。
两个“收益率”别混淆：历史平均收益率 8% 是样本统计结果；CAPM 的 10% 是在给定无风险利率、贝塔和风险溢价下的要求回报率，二者不必相等。
17

由波动率和相关系数求组合预期收益

相关系数组合贝塔市场风险溢价
原始题目 · 第 17 题

17、已知市场组合的波动率为10%，市场组合期望收益率12%，无风险利率4%。投资者持有甲、乙、丙三只股票，数据如下表。利用βi=ρi,mσi/σm计算：（1）各股票贝塔；（2）组合贝塔；（3）按CAPM计算组合预期收益率。

股票投资权重收益率波动率与市场相关系数
甲25%20%0.5
乙25%20%1.0
丙50%10%0.5
市场参数σm=10%；Rm=12%；Rf=4%
组合输入权重、个股波动率、市场相关系数
核心抓手先个股 β，再加权，最后 CAPM

知识深讲：贝塔公式从哪里来？

相关系数定义为 ρi,m=Cov(Ri,Rm)/(σiσm)，所以 Cov(Ri,Rm)=ρi,mσiσm。再除以市场方差 σm2，约去一个 σm，就得到 βi=ρi,mσi/σm。

组合贝塔之所以能加权，是因为组合收益率 Rp=ΣwiRi，而协方差对加权求和具有线性性质。它不只是一个需要背诵的技巧。

相反，把波动率直接加权得到 25%×20%+25%×20%+50%×10%=15%，不能据此认定组合实际波动率为 15%。实际组合波动率需要知道每对资产的协方差；题目只给了各资产与市场的相关系数，并没有给甲、乙、丙彼此之间的全部相关系数。

组合 β=1 使其 CAPM 预期收益率等于市场的 12%，但这只是模型下的期望，不保证未来实际收益与市场完全相同，也不意味着组合总波动率必为 10%。

错解诊断直接把三只股票的波动率当作贝塔，会遗漏与市场相关系数及市场波动率；把市场风险溢价误用为 12%，会得到 4%+1×12%=16%，但正确溢价应是 12%−4%=8%。
举一反三：若三只股票改为等权投资

每只权重均为 1/3，组合 β=(1+2+0.5)/3≈1.1667；CAPM 预期收益率=4%+1.1667×(12%−4%)≈13.33%。提高高贝塔股票乙的相对权重，会提高组合要求回报率。

波动率 × 相关系数：把“自身波动”转成“随市场波动”

波动率 σ 衡量收益率的离散程度；相关系数 ρ 介于 −1 与 1 之间，衡量与市场同向或反向变动的程度。由协方差关系可得到：

βi = ρi,m × σi / σm
  1. (1) 分别计算三只股票的贝塔β甲 = 0.5×20%/10% = 1.0
    β乙 = 1.0×20%/10% = 2.0
    β丙 = 0.5×10%/10% = 0.5    甲虽然自身波动率与乙相同，但与市场相关性较低，因此贝塔较小。
  2. (2) 按投资权重计算组合贝塔βp = 25%×1.0 + 25%×2.0 + 50%×0.5
    = 0.25 + 0.50 + 0.25 = 1.0
  3. (3) 使用 CAPM 求组合预期收益率本题市场风险溢价 = 12%−4%=8%：E(Rp) = 4% + 1.0×(12%−4%) = 12%
股票权重波动率与市场相关系数贝塔权重×贝塔
甲25%20%0.51.00.25
乙25%20%1.02.00.50
丙50%10%0.50.50.25
组合100%——1.01.00
甲、乙、丙贝塔分别为 1.0、2.0、0.5；组合贝塔为 1.0；组合预期收益率为 12%。
组合波动率不能直接这样加权：组合贝塔可按权重线性加权，但组合波动率还受资产之间协方差影响，不能照搬本题的贝塔算法。

CAPM 计算器：风险补偿怎样变化？

互动工具 03
默认示例：股权资本成本 10.00%
06
Bonds, rationing & valuation

债券、资金约束与股票估值

对应第 18—20 题：到期收益率、资本限量组合和市盈率倍数。

债券：今天付价格，未来收本息

票面利率决定合同约定的利息；到期收益率 YTM 则是让未来本息现值等于当前发行价的折现率。

价格 = 未来本息 / (1+YTM)

资金约束：不是每个好项目都能做

项目不可拆分且预算有限时，应枚举可行组合，比较组合总 NPV，而不是只看单个项目的 IRR。

预算内：最大化 Σ NPV

EPS：每股对应的净利润

每股收益把公司总净利润转换为每股口径。净利润与股数同时用“百万”作单位时，百万可以约掉。

EPS = 净利润 / 股数

P/E：市场愿意为每 1 元收益付多少

市盈率 = 股价/EPS。可比公司法用相似公司的合理 P/E 乘目标公司的 EPS，估算目标股价。

目标股价 = 可比平均 P/E × 目标 EPS
18

票面利率不等于到期收益率

一年期债券YTM价格与收益率
原始题目 · 第 18 题

18、某公司拟发行一年期债券，每张面值100元、票面利率20%，期末一次还本付息。请分别计算发行价为100元、110元、80元时的到期收益率。

合同现金流第 1 年末还本 100 + 付息 20
三种买入价100、110、80 元
核心抓手未来本息固定，价格决定回报率

知识深讲：票息收益与价格变动共同构成 YTM

以 110 元买入为例，投资者一年后收到 20 元利息和 100 元本金，相对 110 元买价总利润只有 10 元，因此收益率是 10/110=9.09%。虽然“当期收益率”利息/价格=20/110≈18.18%，但它没有计入从 110 元回归到 100 元面值的资本损失。

以 80 元买入时，总利润为 20 元利息加 20 元价格增值，共 40 元，收益率为 40/80=50%。这解释了为什么相同票面利率可以对应完全不同的到期收益率。

多年期债券的一般定价式为 P=Σ[C/(1+y)t]+F/(1+y)n，YTM 就是使等式成立的 y，本质上也是债券现金流的 IRR。本题只有一期，所以可直接代数求解。

错解诊断三种价格都回答 20%，是把票面利率当成实际投资回报；用 100/P−1 只计算本金价格变化，又漏掉 20 元票息。一年期总回报必须使用全部期末本息 120 元。
举一反三：若发行价为 96 元

YTM=120/96−1=25%。也可以用总利润验证：期末本息 120 减买价 96，利润 24 元，24/96=25%。

先锁定合同现金流：一年后收到 120 元

票息 = 面值×票面利率 = 100×20%=20 元，期末还本 100 元，所以无论发行价格是多少，第 1 年末都收到 120 元。变化的是投资者今天支付的价格。

  1. 建立一年期 YTM 公式P = 120/(1+YTM)　⇒　YTM = 120/P − 1
  2. 发行价 100 元YTM = 120/100 − 1 = 20%按面值发行时，本题一年期债券的 YTM 与票面利率相同。
  3. 发行价 110 元YTM = 120/110 − 1 = 0.090909… ≈ 9.09%
  4. 发行价 80 元YTM = 120/80 − 1 = 50%
发行价第 1 年末本息到期收益率经济含义
100 元120 元20%平价发行
110 元120 元约 9.09%买得贵，收益率较低
80 元120 元50%买得便宜，收益率较高
发行价 100、110、80 元时，到期收益率分别为 20%、约 9.09%、50%。
反向关系：未来本息固定时，当前价格越高，投资回报率越低；当前价格越低，回报率越高。因此“20% 票面利率”不会永远等于“20% 到期收益率”。
19

300 万元预算，怎样搭配项目最值？

资本限量组合枚举总 NPV
原始题目 · 第 19 题

19、某公司计划从三个相互独立的一年期项目中选择投资方案，可用资金总额为300万元。各项目均在第0年投入资金，第1年末取得营业收入并支付现金成本，具体数据如下（单位：万元）：

项目初始投资第1年营业收入第1年现金成本
A10020050
B15029080
C20036080

假设各项目不可拆分，不考虑所得税和残值，折现率均为25%。请计算：（1）各项目的净现值NPV；（2）在资金约束下，使总NPV最大的项目组合及其总NPV。

决策限制总预算 300；项目不可拆分
决策目标不是单项目最优，而是组合总 NPV 最大
核心抓手先算 NPV，再枚举所有可行组合

知识深讲：为什么组合 NPV 可以直接相加？

三个项目相互独立，没有现金流互相影响，且使用相同折现率，所以组合价值等于各项目价值之和。令 xA、xB、xC 只能取 0 或 1，本题可写成：

最大化 20xA + 18xB + 24xC
约束：100xA + 150xB + 200xC ≤ 300

这就是“0—1 选择”的思想：每个项目只能完整做或不做。项目很少时，直接枚举比套公式更可靠，还能避免遗漏预算不可行的组合。

盈利指数也可辅助观察投资效率：A 的 PI=120/100=1.20，B=168/150=1.12，C=224/200=1.12。A 的单位投资效率最高，但最终的 A+C 结论仍应由组合总 NPV 验证，因为简单按 PI 贪心排序在一般资本限量问题中并不总能保证最优。

错解诊断选单个 NPV 最大的 C 只得到 24 万元，放弃了剩余 100 万元预算投资 A 的机会；选择 A+B 虽也有 38 万元，但仍低于 A+C 的 44 万元。B+C 和 A+B+C 超过预算，不能进入比较。
举一反三：若预算改为 250 万元

A+C 投资 300 万元变为不可行。预算内组合中，A+B 投资 250 万元、总 NPV=38 万元，高于仅 C 的 24 万元和其他可行组合，因此最优选择变为 A+B。

先求第 1 年净现金流，再求单项目 NPV

第 1 年净现金流 = 营业收入−现金成本。项目独立意味着技术上可以组合，但 300 万元预算限制了组合可行性。不可拆分意味着不能只做半个项目。

  1. (1) 计算各项目 NPV25% 下一年期折现系数为 0.80：NPVA = −100 + (200−50)×0.80 = 20 万元
    NPVB = −150 + (290−80)×0.80 = 18 万元
    NPVC = −200 + (360−80)×0.80 = 24 万元
  2. (2) 枚举预算内组合不能只看单个 NPV 最大的 C，因为 A+C 可以在预算内同时实施，创造的总价值可能更高。
项目组合初始投资合计是否不超过 300总 NPV
仅 A100可行20
仅 B150可行18
仅 C200可行24
A+B250可行20+18=38
A+C300可行20+24=44
B+C350不可行—
A+B+C450不可行—
A、B、C 的 NPV 分别为 20、18、24 万元；预算内最优组合为 A+C，总投资 300 万元，总 NPV=44 万元。
剩余资金不必强行花完：本题 A+C 恰好用满预算，但一般题目中“用满预算”不一定最优。目标始终是最大化总 NPV，而不是最大化投资额或项目数量。
20

可比公司估值：先清洗 P/E，再套倍数

EPSP/E异常值筛选
原始题目 · 第 20 题

20、某分析师采用市盈率（P/E）倍数法估计甲公司股票价值。下表列出四家可比上市公司和甲公司数据，净利润与股数的单位分别为“百万元”“百万股”。已知估值规则为：剔除每股收益为负的公司，以及市盈率高于30倍的公司；对剩余公司的P/E取简单平均。请计算：（1）四家可比公司的每股收益与P/E；（2）剔除异常值后的平均P/E；（3）甲公司估计股价。

公司股价（元/股）股数（百万股）净利润（百万元）
A10100−100
B20100200
C30100150
D100100100
甲-100200
估值路径可比公司 P/E → 平均倍数 → 甲股价
清洗规则EPS<0 剔除；P/E>30 剔除
核心抓手先统一每股口径，再应用筛选规则

知识深讲：每股法与公司整体法可以互相验证

股价=EPS×P/E，而公司股权价值=净利润×P/E。甲公司净利润 200 百万元，乘平均 P/E=15，得到估计股权价值 3,000 百万元；再除以 100 百万股，得到 30 元/股。两种路径完全一致。

“简单平均”意味着 B 和 C 的 P/E 各占一半权重，不按公司规模、净利润或市值加权。题目若改成加权平均，答案可能不同，因此必须按指定规则执行。

筛选异常值非常重要：若只剔除 A、却忘记剔除 D，平均 P/E 会变成 (10+20+100)/3≈43.33 倍，甲股价会被高估为约 86.67 元/股。D 的 100 倍 P/E 对简单平均影响巨大。

现实中的可比公司法还隐含业务相似、增长与风险相近、会计口径一致等假设。本题是在给定筛选规则下的机械估值，估计值不等于必然的市场交易价格。

错解诊断用甲公司净利润 200 直接乘 15 后，把 3,000 百万元当作每股价格，是漏除股数；把 A 的 −10 倍与 B、C 一起平均，会让亏损公司扭曲估值，也违反题目的筛选顺序。
举一反三：若甲公司净利润改为 300 百万元

股数仍为 100 百万股，甲的 EPS=300/100=3 元/股。可比平均 P/E 仍为 15 倍，因此估计股价=3×15=45 元/股。对应股权价值为 300×15=4,500 百万元。

P/E 倍数法：把“每股盈利”转换成“每股价格”

EPS 是每股收益，单位为元/股；P/E 的单位可理解为“倍”。先用每家公司的市场价格求 P/E，再按题目规则剔除不可比观测值，最后把平均倍数用于甲公司。

  1. (1) 求四家可比公司的 EPS 与 P/EEPS = 净利润/股数，　P/E = 股价/EPS“百万元÷百万股”中的百万约去，结果直接是元/股。
公司股价（元/股）净利润/股数EPS（元/股）P/E（倍）筛选结果
A10−100/100−1−10EPS 为负，剔除
B20200/100210保留
C30150/1001.520保留
D100100/1001100P/E>30，剔除
  1. (2) 计算筛选后的平均 P/E只剩 B 和 C：平均 P/E = (10 + 20)/2 = 15 倍
  2. (3) 计算甲公司的估计股价甲的 EPS = 200/100=2 元/股：甲公司估计股价 = 2×15 = 30 元/股
A—D 的 EPS 分别为 −1、2、1.5、1 元/股，P/E 分别为 −10、10、20、100 倍；筛选后平均 P/E=15 倍；甲公司估计股价为 30 元/股。
负 P/E 没有正常估值含义：A 的 −10 倍只是按公式得到的算术结果，亏损公司不宜用正利润企业的 P/E 逻辑解释，因此题目规则先将它剔除。
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07
Cheat sheet

公式速查与答案总表

考前先回忆公式背后的含义，再用这一页检查。

核心公式卡

复利与折现FV=PV(1+r)n；PV=FV/(1+r)n先数清间隔的期数 n。
普通年金现值PV=A×[1−(1+r)−n]/r适用于每期期末等额收付。
净现值NPV=Σ CFt/(1+r)t流出为负，流入为正。
盈利指数PI=未来流入现值/初始投资单期初始投资口径下，PI>1 对应 NPV>0。
直线法折旧D=(原值−残值)/使用年限折旧非现金，但可形成税盾。
税后经营利润NOPAT=EBIT×(1−T)本题组无利息的经营口径。
经营现金流OCF=NOPAT+D也可写为 (收入−现金成本)(1−T)+DT。
营运资本变化ΔNWC=本期余额−上期余额现金流影响为 −ΔNWC；回收时 ΔNWC 为负。
销量盈亏平衡Q=固定成本/(P−V)净利润口径含折旧；NPV 口径先求所需 OCF。
利息税盾与税后债务成本税盾=I×T；Kd(税后)=Kd(1−T)按题设利息可扣除且有足够应税所得。
有杠杆股权成本KE=KU+(1−T)(D/E)(KU−KD)无税时令 T=0。
贝塔与 CAPMβ=ρσi/σm；K=Rf+β×MRPMRP 是市场风险溢价，不是市场收益率本身。
组合贝塔βp=Σwiβi权重之和应为 1。
一年期债券 YTMYTM=期末本息/当前价格−1仅适用于本题的一次还本付息结构。
每股收益与市盈率EPS=净利润/股数；P/E=股价/EPS目标股价=目标 EPS×可比平均 P/E。
设备税后处置现金流售价−(售价−账面价值)×T按题目给定的处置征税口径。

看到关键词，应该想到什么？

题目信号首要动作最常见错误
“每年年末相同金额”识别普通年金，画时间轴把第 1 年末当作现在
“直线法折旧”先算 D，再算 EBIT 与税把折旧当现金支出再扣一次
“营运资本投入/收回”用 −ΔNWC 调整现金流乘税率或重复扣期末余额
“已支付调研费”识别沉没成本并排除因为金额醒目就计入投资
“自有厂房可出租”将放弃租金作为机会成本误认为自有资源免费
“NPV=0 的销量/售价”先求每年所需 OCF直接用会计保本公式替代
“互斥项目”优先比较 NPV，可查增量现金流只选 IRR 较高者
“市场风险溢价”CAPM 直接乘 β再减一次无风险利率
“预算有限、不可拆分”枚举所有可行组合把项目按比例拆分

20 题答案总表

题号最终答案
01等额本息每年 12,100 元；等额本金第 1、2 年分别 12,600、11,550 元。
02工资现值 20,000 元。
03每年末存入 8,000 元。
04NPV=0 万元；PI=1；PP=1 年；DPP=2 年；IRR=25%。
05D=100、EBIT=100、NOPAT=80 万元/年；NPV=52 万元。
06A：NPV=20 万元、IRR=50%；B：NPV=32 万元、IRR=45%；互斥选 B。
07年利息 8,000 元；年税盾 2,000 元；税后债务成本 6%。
08净利润保本量 30,000 只/年。
09NPV=0 的年销量 30 万件。
10净利润保本量 13.5 万件；NPV 保本量 17 万件；最高单位变动成本 6.6 元；最低售价 9.4 元。
11不扩张期望 NPV=−20 万元；可扩张期望 NPV=12 万元；期权价值 32 万元。
12D=60、EBIT=50、NOPAT=40、OCF=100 万元/年；现金流 −120、100、100 万元；NPV=24 万元。
13D=50、EBIT=50、NOPAT=40、OCF=90 万元/年；税后处置 20 万元；CF2=130 万元；NPV=35.2 万元。
14ΔNWC=+30、+20、−50 万元；净现金流 −130、80、150 万元；NPV=30 万元。
15无税 KE=9%；含 25% 公司税 KE=8.5%。
16β=2；CAPM 股权资本成本=10%。
17β甲=1、β乙=2、β丙=0.5；组合 β=1；预期收益率=12%。
18发行价 100、110、80 元时，YTM 分别为 20%、约 9.09%、50%。
19NPVA=20、NPVB=18、NPVC=24 万元；选 A+C，总 NPV=44 万元。
20EPS=−1、2、1.5、1 元/股；P/E=−10、10、20、100 倍；平均 P/E=15 倍；甲股价 30 元/股。
08
Final check

毕业小测

先独立口算，再展开答案。能解释“为什么”，才是真正掌握。

1. 第 0 年投入 100 元，第 1 年末收回 120 元，折现率 20%，NPV 是多少？

查看答案与理由NPV=−100+120/1.2=0 元。项目刚好达到 20% 的要求回报率。

2. EBIT=50 万元，折旧=20 万元，所得税率 20%，无利息时 OCF 是多少？

查看答案与理由NOPAT=50×(1−20%)=40 万元；OCF=NOPAT+折旧=40+20=60 万元。

3. 净营运资本余额从 30 万元升至 50 万元，对当期现金流的影响是多少？

查看答案与理由ΔNWC=50−30=20 万元；现金流影响=−ΔNWC=−20 万元，因为更多资金被占用。

4. 无风险利率 2%，贝塔 1.5，市场风险溢价 5%，CAPM 要求回报率是多少？

查看答案与理由K=2%+1.5×5%=9.5%。5% 已是风险溢价，不需要再减无风险利率。

5. 两个互斥项目都有正 NPV，A 的 IRR 更高，B 的 NPV 更大。通常应选择哪一个？

查看答案与理由通常选择 NPV 更大的 B，因为在相同决策口径下它增加的企业价值更多。可用增量现金流进一步核验。
✓
最后检查：时点、单位、税、现金流，一个都别漏先画时间轴，再写带符号现金流；利润调到现金流时加回折旧；最后检查营运资本、机会成本与终结处置。